Exercice 5 poly de physique

[Tar]

Bonjour,
J'aurais besoin d'un petit coup de pouce pour l'exercice 5 de mécanique du polycopié de physique du SPR que voici :

IMG_20220824_133433.jpg

Enfaite, j'ai,pour résoudre le problème n°1, traduit le fait que O est a l'équilibre des forces gravitationnelles en écrivant que les normes des vecteurs représentant les 3 forces gravitationnelles sont égaux deux à deux et en simplifiant j'obtiens cela:

\(
\begin{cases}
\frac{1}{d^2 {A}} &=  \frac{2}{d^2 {B}} \\
\frac{1}{d^2 {A}} &=  \frac{3}{d^2 {C}}
\end{cases}

\)

De là j'ai pu résoudre un système d'équations me donnant deux points possible où peut se trouver l'objet O et qui ne sont pas les même que dans la solution donné dans l'énoncé du coup, j'aimerais savoir si j'ai mal traduit l'énoncé.
Mercii d'avance pour vos éclaircissements !

[Soukayna]

Bonjour,

Ta méthode est bien logique, sauf que j'ai pas bien compris la notation du système que tu as résolu (A, B et C correspondent-ils à la masse?).
Peux-tu me préciser le couple de coordonnées que tu as obtenus avec ton système pour que je puisse vérifier?

[Tar]

Bonjour Soukayna,
Alors pour mon système, je suis parti de l'égalité des normes des 3 forces gravitationnelles :
\(

\begin{cases}
\frac{G m_{O} m_{A} }{d^2 _{A}} &=  \frac{2 G m_{O} m_{A} }{d^2 _{B}}
\\
\frac{G m_{O} m_{A} }{d^2 _{A}} &=  \frac{3 G m_{O} m_{A} }{d^2 _{C}}
\end{cases}
\)

Car on remarque que \( m_{B}=2× m_{A} , \; m_{c}=3×m_{A}\) et avec \(d_{A}, \; d_{B} \;et \; d_{C}\) les distances entre notre objet O et, respectivement les points \(A, B \; et \; C\).

Ensuite on simplifie et on passe à l'inverse pour obtenir ce système :

\(

\begin{cases}
d^2 _{A} &=  \frac{d^2_{B} }{2}
\\
d^2 _{A} &=  \frac{d^2 _{C} }{3}
\end{cases}
\)

Et donc grâce à l'expression des distances en fonction de \(x\) et de \(y\) on obtient le système suivant :
\(

\begin{cases}
x^2 + y^2 &=  \frac{ \left( 500\sqrt{3} - x\right)^2 + \left( 500-y \right)^² }{2}
\\
x^2 + y^2 &=   \frac{ x^2 + \left( 1000-y \right)^² }{3} \end{cases}
\)
Car les coordonnées de nos trois points A B et C sont dans le repère \((Axy)\): \(A(0;0) , B(500\sqrt{3};500) \; et \; C(0;1000)\).
Et donc après simplification on obtient cela :
\(

\begin{cases}
x&=  \frac{500}{\sqrt{3}}
\\
y &= \pm 1000\sqrt{\frac{2}{3}} -500
\end{cases}
\)
Voilà j'espère que j'ai pu répondre à tes interrogations !

[Soukayna]

Bonjour,

Oui ta résolution est juste, et le résultat (288, 316) est juste aussi.

Il y avait une erreur dans le résultat rédigé dans le poly du SPR, désolée.

Cet exercice n'était pas facile, bravo.

Je te souhaite une bonne journée.

[Tar]

Bonjour,
Parfait alors et encore merci !

Passez une excellente journée !!

PS: effectivement le système d'équation piquer vraiment j'ai cru que lexo était tiré d'un DM bien compliqué.